La loi de Fick : une loi mathématique fondamentale pour penser la dépollution ou la décontamination des sols [ avec un cas d’étude simplifié sur un type de sol contaminé ]

Le 20 décembre 2024

Les cas pratiques

La loi de Fick : une loi mathématique fondamentale pour penser la dépollution ou la décontamination des sols
[ avec un cas d’étude simplifié sur un type de sol contaminé ]

 

La loi de Fick est une loi fondamentale en mécanique des milieux continus et en transfert de masse, particulièrement pertinente pour modéliser la diffusion des contaminants dans les sols. Voici une analyse de son utilité, de ses avantages et de ses limitations dans le contexte de la propagation de contaminants liquides ou poudreux dans un sol :

 

Exprimons le concept mathématique qui permet de déterminer la longueur de progression d’un contaminant dans un milieu, en combinant les lois de transport appropriées, notamment pour décrire son déplacement sous l’effet de l’advection et de la diffusion.

 

Longueur de progression : concept général

 

La longueur de progression  L( t )  représente la distance parcourue par un contaminant en fonction du temps ( t ). Cette distance dépend principalement de deux phénomènes dans le milieu poreux :

 

• Advection : Mouvement global avec le flux du fluide (par exemple, l’eau).

 

• Diffusion / Dispersion : Transport éparse du fluide lié aux gradients de concentration et au phénomène de dispersion mécanique dans le sol.

 

Équation d’advection-diffusion

 

Le transport du contaminant dans un milieu poreux est modélisé par l’équation d’advection-diffusion :

 

[ ∂t / ∂C ] ​+ v . [ ∂x / ∂C ] ​= D. [ ∂x² / ∂C² ]

 

​
où :

• C( x , t ) est la concentration du contaminant à la position ( x ) et au temps ( t ),

 

• v  est la vitesse moyenne d’advection,

 

• D  est le coefficient de dispersion (incluant diffusion moléculaire et dispersion mécanique).

 

 

Expression de la longueur de progression

 

Pour caractériser la progression du contaminant, il est utile de déterminer la position moyenne du contaminant dans le milieu. Cette position moyenne peut être exprimée par la solution de l’équation précédente.

(a) pour un contaminant initialement concentré en un point ( C₀ ) :

Une solution typique pour une injection initiale ponctuelle ( C( x , 0 ) = C₀ . δ( x ) . C( x, 0 ) ) est donnée par la formule :

 

C(x,t) = [ C₀ / √(4π . Dt) ] .​ ​​e^{− [ ( x −v.t )2 ​/ 4D.t ]}

 

Ce profil montre un mélange des effets d’advection ( v.t ) et de diffusion ( D ).

 

(b) Position moyenne du contaminant :

La position moyenne x (ou longueur de progression) est calculée comme :

 

x  = v.t

 

(c) Étendue de la dispersion :

La largeur de la zone affectée par le contaminant est déterminée par l’écart-type de la distribution (σx​) :

 

σx​ = √( 2D.t )​

 

Ainsi, le contaminant progresse à une distance moyenne  L( t ) = v.t , avec une dispersion autour de cette position proportionnelle à  ( √( 2D.t ) ).

 

 

Longueur totale affectée par le contaminant

 

La région affectée peut être définie par une combinaison des deux termes :

 

L_total​(t) = v.t + α.√(2.Dt)

 

​
où ( α ) est un facteur pour définir l’étendue autour de la position moyenne ( α = 2  ou 3 , par exemple, pour capturer 95 % ou 99 % du contaminant).

 

 

Importance des paramètres

 

• Si l’advection domine ( v ≫ √( D / t ​), la longueur de progression est principalement ( v.t ).

 

• Si la diffusion ou la dispersion domine ( v ≈ 0 ), la progression est caractérisée par ( √(2.Dt) ).

 

• Dans les sols à faible perméabilité, la diffusion est le mécanisme principal, tandis que dans des flux rapides, l’advection prédomine.

 

 

En résumé

 

La longueur de progression  L ( t )  dans un sol peut être exprimée comme la combinaison des contributions de l’advection et de la diffusion :

 

L ( t ) = v.t + α.√(2.D.t)​

 

Cela permet de décrire mathématiquement comment un contaminant liquide ou poudreux progresse dans un milieu en fonction de ses propriétés et des conditions du sol.

 

Limitations de la Loi de Fick

 

• Hypothèses de Base : La loi de Fick suppose que le flux est proportionnel au gradient de concentration et que les processus sont linéaires. Cependant, dans des conditions de fort gradient de concentration ou de transport rapide, ces hypothèses peuvent ne plus être valides.

 

• Inertie Négligeable : La loi de Fick ne prend pas en compte les effets d’inertie. Dans des régimes de flux où les effets inertielles deviennent significatifs (par exemple, à haute vitesse de flux), l’intégration de termes inertielles, comme ceux de la loi de Forchheimer, devient nécessaire.

 

• Transport Anomalique : Dans certains sols hétérogènes ou fracturés, le transport des contaminants peut présenter des comportements non-fickiens (anomalies de dispersion, front de concentration non-gaussian). La loi de Fick classique peut alors sous-estimer ou surestimer la dispersion réelle.

 

Intégration avec d’autres modèles

 

Pour modéliser de manière plus précise la propagation des contaminants dans le sol, il est souvent nécessaire de combiner la loi de Fick avec d’autres lois physiques :

 

• Advection et Dispersion : La combinaison de l’advection (mouvement global avec le flux d’eau) et de la diffusion (des processus locaux décrits par la loi de Fick) permet de capturer une gamme plus large de mécanismes de transport.

 

• Extensions pour les Effets Inertielles : Comme mentionné précédemment, pour les régimes de flux rapides, il peut être nécessaire d’ajouter des termes inertielles (par exemple, via la loi de Forchheimer) à l’équation de transport.

 

• Modèles Non-Fickiens : Dans les cas où le transport présente des comportements non-fickiens, des modèles plus complexes comme les équations à mémoire ou les modèles de transport fractionnaire peuvent être utilisés en complément ou en remplacement de la loi de Fick.

 

 

Conclusion

 

La loi de Fick est un outil essentiel et largement utilisé pour modéliser la diffusion des contaminants dans les sols. Elle offre une base solide pour comprendre et prédire le comportement de la propagation des contaminants dans des conditions où les effets d’inertie sont négligeables et où le transport suit des dynamiques linéaires.

Cependant, pour des scénarios plus complexes impliquant des flux rapides ou des milieux hétérogènes, il est nécessaire de compléter la loi de Fick avec d’autres modèles physiques afin de capturer tous les aspects du transport des contaminants.

En résumé, la loi de Fick est efficace pour modéliser la diffusion des contaminants dans des conditions appropriées, mais elle doit être utilisée de manière judicieuse et, si nécessaire, en combinaison avec d’autres lois et théories pour traiter des situations où ses hypothèses de base ne sont pas entièrement satisfaites.

 

Christophe NAVARRO, Auteur
NOVA RADIOPROTECTION ©

 

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Cas d’Étude : Progression d’un contaminant dans un sol

 

 

Un liquide contaminant dans notre  exemple, de l’huile avec une substance faiblement radioactive est accidentellement déversé en extérieur à la surface d’un sol limoneux homogène . Et malheureusement, il pleut.

L’objectif est de déterminer la profondeur de progression du contaminant après 30 jours pour estimer la quantité de terre à décaisser afin de revenir à un état naturel.

 

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Hypothèses simplifiées

 

Nature du sol : Sol homogène limoneux avec une perméabilité modérée .

Propriétés du contaminant :

• Le contaminant est transporté par diffusion uniquement (advection importante, avec de la pluie ).
• Diffusion isotrope (identique dans toutes les directions).

Conditions initiales : Le contaminant est déversé en une quantité uniforme à la surface.

Durée étudiée : t = 30 jours

 

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Données d’entrée

• Coefficient de diffusion moléculaire D :

D = 1×10⁻⁶  cm² / s (valeur typique pour des contaminants dans le sol)

 

• Temps de propagation : t = 30 jours. Convertissons en secondes :

t = 30 jours × 24 h / jour × 3600 s / h = 2 592 000 secondes

 

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Rôle de la viscosité dans les modèles de migration et de transport

La viscosité μ intervient principalement dans les flux advectifs, où le transport est contrôlé par le déplacement d’un fluide dans un milieu poreux. Cela est modélisé par la loi de Darcy :

v = – [ K / μ ] . ∇P

où :

• $\mathbf{v}$ est la vitesse d’advection (flux moyen de fluide dans le sol),
• K est la perméabilité du sol (m²),
• μ est la viscosité dynamique (Pa·s),
• ∇P est le gradient de pression.

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Modification de la longueur de progression avec advection

Dans un contexte où l’advection est présente, le transport du contaminant est une combinaison d’advection et de diffusion. La longueur de progression L(t) peut être approximée par :

L ( t ) = v.t + α.√ ( 2.D.t )

 

où :

• v = – [ K / μ ] . ∇P   est la vitesse d’advection,
• D est le coefficient de dispersion, souvent influencé par   μ.

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Exemple Ajusté avec Advection

Hypothèses :

• • Perméabilité du sol K = 1 × 10⁻¹²  m² (valeur typique pour un sol limoneux).
  • Gradient de pression ∇P = 100  Pa / m
  • Viscosité dynamique de l’eau contaminée  μ = 1 × 10⁻³ Pa.s
  • Coefficient de dispersion D = 1 × 10⁻⁶ cm²
  • Temps t = 30 jours = 2 592 000 secondes

 

Calcul de la vitesse advective ( v ) :

 

v = – [ K / μ ] . ∇P = − [ ( 1×10⁻³ ) / ( 1 × 10⁻¹²​ ) ] ×100 = 1 × 10⁻⁷ m/s

 

Longueur totale de progression L ( t ) : L’advection domine la diffusion dans ce cas :

L ( t ) = v.t + α.√ ( 2.D.t )

Substituons v, t, et D :

• Phénomène d’Advection : vt = ( 1×10⁻⁷ ) . ( 2592000 ) = 0.2592m = 25.9 cm
• Phénomène de Diffusion : α . √ ( 2.D.t )​ = 2 . √ ( 2 . ( 1×10⁻⁶ ) . 2592000​ ) = 2√ ( 5.184 ) ​≈ 4.5 cm

Progression totale du contaminant dans le sol :

L( t ) = 25.9 + 4.5 ≈ 31 cm

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Conclusion ajustée

En incluant la viscosité et l’advection, la longueur de progression du contaminant est estimée à 31 cm après 30 jours progression du contaminant dans le sol. Pour revenir à un état naturel, il faudrait donc décaisser environ 31 cm de sol.

Si l’advection est significative, la viscosité devient un paramètre central dans le calcul.

Toutefois, dans des régimes purement diffusif ( exemple : avec du sable-limoneux , et sans exposition à de la pluie ), la viscosité pourrait  être ignorée. Pour revenir à un état naturel, il faudrait dans cette situation décaisser environ 7 cm en prenant une marge de sécurité de 300 % .